Εφαρμοσμένα Μαθηματικά (6ΕΠ03 )
Διδάσκων : Μαρία Αδάμ
ΕίδοςΕπιλογής (υποχρεωτικό)
Εξάμηνο6
ΠερίοδοςΕΕ
ECTS5
Ώρες Θεωρίας4
Ώρες Εργαστηρίου
Περιγραφή
Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις: Διαφορικές εξισώσεις χωριζόμενων μεταβλητών. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Εξίσωση Bernoulli. Πλήρης και μη-πλήρης διαφορικές εξισωσεις-Πολλαπλασιαστής Euler. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Η μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων. Η μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών. Διαφορικές εξισώσεις Euler. Γραμμικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων. Ομογενή/μη ομογενή γραμμικά συστήματα. Επίλυση συστημάτων με τη μέθοδο Euler. Εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων σε απλά μοντέλα βιολογικών συστημάτων όπως προβλήματα μεταβολής πληθυσμών, κατανομών φαρμάκου στο αίμα κ.α. Γενικευμένο ολοκλήρωμα. Mετασχηματισμοί Laplace, Fourier. Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση: Μιγαδικοί αριθμοί και συναρτήσεις. Ολόμορφες συναρτήσεις, συνθήκες Cauchy-Riemann. Στοχαστική ανάλυση: Πολυμεταβλητές τεχνικές στην Ιατρική έρευνα. Στοχαστικές διαδικασίες στη Βιολογική έρευνα και στην ανάλυση αλυσίδων DNA. Εισαγωγή στη Πολυμεταβλητή Στατιστική: Πολυδιάστατα δεδομένα. Το διάνυσμα των μέσων τιμών. Πίνακας συνδιακυμάνσεων και συσχετίσεων. Ανασκόπιση στην πολλαπλή παλινδρόμηση. Γραφικές τεχνικές για πολυδιάστατα δεδομένα. Έλεγχοι υποθέσεων. Πολυμεταβλητή ανάλυση διακύμανσης (MANOVA). Ανάλυση σε κύριες συνιστώσες. Παραγοντική ανάλυση. Εφαρμογές από το χώρο της Ψυχιατρικής. Διαχωριστική ανάλυση. Ανάλυση συστάδων. Εφαρμογές με το SPSS. Εισαγωγή στις στοχαστικές διαδικασίες: Η έννοια της στοχαστικής διαδικασίας. Στοχαστικές διαδικασίες διακριτού χρόνου. Στοχαστικές διαδικασίες συνεχούς χρόνου. Χώροι καταστάσεων. Εφαρμογές στη Γενετική. Αρχική κατανομή. Πιθανότητες μετάβασης. Πίνακες μετάβασης. Πιθανότητες μετάβασης ανωτέρας τάξης. Μοντέλα Markov στη Βιολογία. Ορισμοί, βασικές έννοιες και παραδείγματα. Στάσιμες κατανομές. Αλυσίδες γέννησης και θανάτου. Ομογενείς αλυσίδες Markov συνεχούς παραμέτρου. Ορισμοί ομοιόμορφης διαδικασίας Poisson. Εφαρμογές. Ανάλυση ακολουθιών μακρομορίων, στοχαστικές διαδικασίες στην εξέλιξη. Εισαγωγή στα Hidden Markov Models.
Μαθησιακοί Στόχοι

Βασική επιδίωξη  του μαθήματος είναι η εισαγωγή των φοιτητών στη μαθηματική μοντελοποίηση προβλημάτων και στην εξοικείωσή τους  με μεθόδους ανάλυσης δεδομένων, με στόχο την ανάπτυξη μεθοδολογιών κατάλληλων για  την υποστήριξη των πτυχιακών  εργασιών του τμήματος.

Σκοπός του μαθήματος είναι :

  • η κατανόηση και η εξοικείωση των φοιτητών με τη διαδικασία περιγραφής ενός προβλήματος (από οποιονδήποτε ερευνητική περιοχή) με μια διαφορική εξίσωση ή σύστημα διαφορικών εξισώσεων ή ακόμη τη συλλογή, οργάνωση, μελέτη και ανάλυση βιολογικών δεδομένων,
  • η απόκτηση γνώσεων και δεξιοτήτων τόσο για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων ή συστημάτων όσο και για την ανάπτυξη μεθόδων πολυμεταβλητής ανάλυσης.
Συγγράμματα/Βιβλιογραφία
  • Τραχανάς Στέφ., Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, ΙΤΕ, έκδοση 1η, 2008, Ηράκλειο Κρήτης.
  • Βραχάτης Μιχ., Αριθμητική Ανάλυση: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, εκδόσεις Κλειδάριθμος, ΕΠΕ, έκδοση 1η, 2012, Αθήνα.
  • Αλικάκος Νικ., Καλογερόπουλος Γρ., Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, εκδόσεις Σύγχρονη Εκδοτική ΕΠΕ, έκδοση 1η , 2003, Αθήνα.
  • Βουγιατζής Γ., Μπόζης Γ. Παπαδόπουλος Δ., Διαφορικές Εξισώσεις και Εφαρμογές, εκδόσεις Κλειδάριθμος, ΕΠΕ, έκδοση 1η , 2012, Αθήνα.
  • Σιάρδος Γ., Μέθοδοι Πολυμεταβλητής Στατιστικής Ανάλυσης, εκδόσεις Σταμούλη Α.Ε., έκδοση 3η, 2005, Αθήνα.
  • Καρλής Δ., Πολυμεταβλητή Στατιστική Ανάλυση, εκδόσεις Σταμούλη Α.Ε., έκδοση 1η, 2005, Αθήνα.
Τρόπος Εξέτασης
Προαιρετική εξαμηνιαία εργασία και γραπτή εξέταση στο τέλος του ακαδημαϊκού εξαμήνου.
Υλικό
http://eclass.uth.gr/eclass/courses/DIB191/