Μαθηματική Ανάλυση Ι (1ΚΠ01 )
Διδάσκων : Μαρία Αδάμ
Βοηθός : Βασίλειος Δρακόπουλος
ΕίδοςΥποχρεωτικό
Εξάμηνο1
ΠερίοδοςΧΕ
ECTS5
Ώρες Θεωρίας4
Ώρες Εργαστηρίου
Περιγραφή
Σύνολα. Η έννοια της απεικόνισης. Πραγματικοί αριθμοί. Αξιώματα του R. Ρητοί αριθμοί. Το επεκτεταμένο σύνολο R. Διαστήματα. Απόσταση. Περιοχή σημείου. Ταξινόμηση σημείων του R. Ανοικτά και κλειστά σύνολα. Ακολουθίες πραγματικών αριθμών. Όριο ακολουθίας. Πράξεις με όρια. Κριτήριο Cauchy. Μονότονες ακολουθίες. Συστολική ακολουθία. Αναδρομικές ακολουθίες. Εξισώσεις διαφορών. Σειρές πραγματικών αριθμών. Βασικά κριτήρια σύγκλισης σειρών. Συνέχεια, Παράγωγος συνάρτησης. Βασικά θεωρήματα. Κανόνας Leibniz. Αντίστροφες τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Υπερβολικές συναρτήσεις και αντίστροφες αυτών. Διαφορικό. Παράγωγοι και διαφορικά ανώτερης τάξης. Προσέγγιση συναρτήσεων με πολυώνυμα. Πολυώνυμο Taylor (Maclaurin). Δυναμοσειρές. Αόριστο ολοκλήρωμα. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Ολοκλήρωμα Riemann. Θεμελιώδη θεωρήματα. Θεώρημα μέσης τιμής του Ολοκληρωτικού Λογισμού. Παραγώγιση ολοκληρωμάτων. Γενικευμένο ολοκλήρωμα. Βασικές προτάσεις σύγκλισης. Εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος. Σειρές Fourier. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Εξισώσεις χωριζόμενων μεταβλητών. Ομογενείς. Γραμμικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Γραμμικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Εξίσωση Euler.
Μαθησιακοί Στόχοι

Σκοπός του μαθήματος είναι να διδάξει θεωρήματα και κανόνες, να αναπτύξει κριτική και αναλυτική σκέψη, ώστε με μαθηματική αυστηρότητα και πειθαρχία να  μοντελοποιούνται και να επιλύονται διαθεματικά προβλήματα.

Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής πρέπει:

  • Να έχει κατανοήσει τις θεμελιώδεις έννοιες των συναρτήσεων μίας πραγματικής μεταβλητής, όπως είναι η οριακή τιμή, η συνέχεια, η παράγωγος, να συνθέτει και να εφαρμόζει τις ιδιότητες των παραπάνω εννοιών κατά τη μελέτη μίας πραγματικής συνάρτησης μίας πραγματικής μεταβλητής.
  • Να έχει κατανοήσει τις έννοιες του αόριστου, του ορισμένου και του γενικευμένου ολοκληρώματος, να γνωρίζει μεθόδους και τεχνικές ολοκλήρωσης ώστε να τις εφαρμόζει  κατά τον υπολογισμό του εμβαδού ενός 2-διάστατου σχήματος, κατά τον υπολογισμό όγκου/επιφάνειας ενός 3-διάστατου χωρίου με τη χρήση κατάλληλων ολοκληρωμάτων, κατά την επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων ή μετασχηματισμών Laplace, Fourier, κ.α.
  • Να έχει εξοικειωθεί με διακριτές έννοιες, όπως είναι οι ακολουθίες και οι σειρές, να γνωρίζει κριτήρια σύγκλισης σειρών και πως εφαρμόζονται για την προσέγγιση ορισμένων συναρτήσεων.

Το μάθημα στοχεύει στην απόκτηση γνώσεων, ιδεών και δεξιοτήτων, ώστε αυτές να εφαρμοστούν σε άλλα μαθήματα που σχετίζονται με την Πληροφορική και τη Βιοϊατρική.

Συγγράμματα/Βιβλιογραφία
  • Spivak Michael, Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, ΙΤΕ, έκδοση 2η, 2010, Ηράκλειο Κρήτης.
  • Τσίτσας Λ., Εφαρμοσμένος Απειροστικός Λογισμός, Μ.Αθανασοπούλου-Σ. Αθανασόπουλος & ΣΙΑ Ο.Ε., έκδοση 2η, 2003, Αθήνα.
  • Δασκαλόπουλος Δ., Ανώτερα Μαθηματικά V, Εκδόσεις ΖΗΤΗ  Πελαγία & Σια Ο.Ε., έκδοση 1η , 1999, Θεσσαλονίκη.
  • Finney R.L., Weir M.D., Giordano F.R., Απειροστικός Λογισμός (σε έναν τόμο), Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, ΙΤΕ, έκδοση 1η, 2012, Ηράκλειο Κρήτης.
  • Αθανασιάδης Χ. Ε., Γιαννακούλιας Ε., Γιωτόπουλος Σ.Χ., Γενικά Μαθηματικά – Απειροστικός Λογισμός (τόμος Ι), εκδόσεις  Σ. Αθανασόπουλος & ΣΙΑ Ο.Ε., έκδοση 1η , 2009, Αθήνα.
Τρόπος Εξέτασης
Γραπτή εξέταση στο τέλος του ακαδημαϊκού εξαμήνου.
Υλικό
http://eclass.uth.gr/eclass/courses/DIB103/